Математические этюды

Наступает новый, 2025 год!

«Понимаете, у нас традиция, 31 декабря каждый год мы с друзьями …», проверяем арифметику очередного номера года https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3379 .

Число 2025 одновременно представимо и как квадрат суммы последовательных чисел, и как сумма кубов этих же чисел:
2025=(1+2+3+…+9)^2=1^3+2^3+3^3+…+9^3.
Предыдущие года, которые обладают таким свойством, — это 784 и 1296, а следующие будут тоже не скоро — 3025 и 4356.

Легко заметить, что число 2025 является квадратом нечётного числа: 2025=45^2. Предыдущие нечётные квадраты — это 1681 и 1849, а следующие — 2209 и 2401.

Но всё это не главное. Главное — чтобы год был счастливым!

В продолжение темы неевклидовой геометрии предлагаем погрузиться в неё с помощью красивой интерактивной модели «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ .

Точки и прямые можно двигать! А прошедшие сквозь геометрию Лобачевского до конца сюжета смогут построить свой гиперболический калейдоскоп!

Приятно преподнести этот красивый подарок всем, urbi et orbi, в день 25-летнего юбилея глубокого математика и удивительного человека, деятельно участвующего в жизни нашей лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Как ни странно, но даже чёткое определение, казалось бы, такого простого объекта, как многогранник, является не такой простой задачей. Желающим разобраться предлагаем посмотреть брошюру классика этой темы – Николай Петровича Долбилина – «Жемчужины теории многогранников».

Определения вершины многогранника можно давать разные. Но главной характеристикой вершины выпуклого многогранника является «недостаток угла» в этой точке https://etudes.ru/etudes/polyhedron-vertices/ .

В преддверии Дня математика, отмечающегося теперь в России в день рождения Николая Ивановича Лобачевского (1 декабря; по старому стилю – 20 ноября 1792 года), представляем серию плакатов Три геометрии: сходства и различия https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ .

Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Если пятый постулат не выполняется, то возможны две ситуации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского.

На плакатах коротко и наглядно демонстрируются сходства и различия между этими тремя геометриями. Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер – листы А3.

В проекте «Математические этюды» – новый раздел «Игротеки» https://etudes.ru/mathgrounds/ !

В разделе будет собираться опыт «станций», активностей, которые можно организовывать при проведении фестивалей математики. В частности, устраивая не просто олимпиады, не просто занятия по математике, а именно математические праздники. Какие-то станции более математические, какие-то менее, какие-то проще в реализации, какие-то сложнее. Можно выбирать по вкусу и по возможностям.

Представленные идеи можно использовать и просто на кружках и уроках математики.

Как обычно, наполнение будет постепенным, постараемся указывать и техническую информацию, необходимую для организаторов мероприятий. А первые идеи – уже на сайте.

«Топологический человек», сцепивший пальцы, — сфера с двумя ручками. Может ли он, не расцепляя пальцы, расцепить руки при помощи гладкой деформации? На первый взгляд нет. Однако, такая изотопия есть — вот известный рисунок Анатолия Тимофеевича Фоменко https://etudes.ru/etudes/unlacing-fingers/ . На сайте кафедры «Дифференциальной геометрии и приложений» механико-математического факультета МГУ можно найти и другие его картины.

Заметим, что брюки никоим образом не мешают расцеплению пальцев и хорошо сидят после расцепления. Но если «топологический человек» наденет пиджак, то после расцепления пальцев выглядеть он будет странно. Вот статья «Амёба… в пиджаке» из журнала «Квант», рассказывающая историю с Международного математического конгресса 1966 года в Москве. А вот эта же идея, но с часами, в рисунке А.Т. Фоменко.

Премьера проекта «Математические этюды» — фильм «⁠Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны» https://etudes.ru/models/pseudosphere-constant-negative-curvature/ , в котором представлена механическая интерпретация понятия поверхности постоянной гауссовой кривизны.

Для двух простейших примеров поверхностей постоянной гауссовой кривизны — плоскости (нулевая гауссова кривизна) и сферы (положительная гауссова кривизна равная 1/R^2) — очевидно, что кусочек поверхности можно двигать по самой поверхности, вращать, и он всегда будет прилегать к поверхности.

Псевдосфера — поверхность Бельтрами — является поверхностью постоянной отрицательной гауссовой кривизны, реализующей в трёхмерном пространстве геометрию плоскости Лобачевского. В случае псевдосферы без математических знаний кажется совершенно удивительным, что пластинку можно перемещать по поверхности и даже вращать https://t.center/EtudesRu/767 !

Описанная модель, изготовленная на рубеже XIX—XX веков, как тогда было принято, из гипса, хранится в Музее Николая Ивановича Лобачевского Казанского федерального университета. Деревянная модель, с которой можно проводить эксперименты, находится в лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук.

Замощения плоскости — мозаики — позволяют увидеть равносоставленность равновеликих многоугольников.

Эта идея у нас уже встречалась, например, в одном из доказательств теоремы Пифагора: один слой — это замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — квадратная сетка.

Сегодняшняя модель — разрезание квадрата и равновеликого правильного восьмиугольника на одинаковые части https://etudes.ru/models/square-octagon/ . Его даёт такая мозаика https://t.center/EtudesRu/762 : первый слой — снова замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — сетка из маленьких квадратов первого разбиения и правильных восьмиугольников.

Это и ещё одно разрезание квадрата и правильного восьмиугольника встречается в персидской рукописи неизвестного автора, найденной в 1970 году в национальной библиотеке Франции (Anonymous Compendium / Paris, Bibliothèque nationale de France, Ms. Persan) и датируемой примерно XIV веком.

Интересующимся восточными орнаментами всячески рекомендуем страницу Андрея Ивановича Щетникова — удивительного человека, в частности, известного как автора образовательного проекта GetAClass.